TP Ecoulement des fluides

Nous rappelons ici le théorème de Bernoulli qui donne la relation suivante pour un fluide incompressible, parfait, permanent et homogène :

$\dfrac{1}{2}\rho {v_A}^2 + \rho g z_A + P_A = \dfrac{1}{2}\rho {v_B}^2 + \rho g z_B + P_B$

(6 inconnues et 1 équation : il y a donc 5 variables indépendantes)

L'incompressiblité implique la conservation du débit volumique : $\iint \overrightarrow{v}.\overrightarrow{\mathrm{d}S} = v_A S_A=v_B S_B$

(5 variables indépendantes et 1 équation : il y a donc 4 variables indépendantes)

Fluides réels

La prise en compte des forces de frottements entre chaque particule de fluide ou la paroie, induit des transferts d'énergie sous forme de chaleur. L'énergie mécanique n'est plus conservée, on peut toutefois écrire un bilan énergétique (volumique) en y intégrant les gains et les pertes énergétiques entre deux états A et B du fluide.

En associant une longueur "fictive" à chaque énergie, le théorème de Bernoulli (généralisé) se réécrit :

$\dfrac{{v_A}^2}{2g} +\dfrac{P_A}{\rho g} + z_A - \underbrace{\dfrac{U^2}{2g} \left( \lambda \times \dfrac{L}{D} + \xi \right)}_{=\ pertes} + \underbrace{\dfrac{w_u}{\rho g}}_{=\ gains}= \dfrac{{v_B}^2}{2g} +\dfrac{P_B}{\rho g} + z_B$

Nous allons à présent étudier les fluides réels dans l'écoulement de Poiseuille cylindrique:

La loi de Poiseuille établit une relation entre le débit volumique d'un fluide et sa viscosité dans un écoulement en régime laminaire

$\Delta P = \dfrac{8 \eta L}{\pi R^4} Q_v$

Le régime laminaire est caractérisé par un nombre de Reynolds $Re$ inférieur (approximativement) à 2000, au delà le fluide est dans le régime turbulent. L'objectif ce TP est de retrouver ce nombre de Reynolds critique ${Re}_c$ .

Dans un écoulement de section constante, sur chaque ligne de courant, la vitesse est constante : les pertes de charge linéïque se déduisent directement par la mesure des hauteurs piézométriques.

Les pertes de charge linéïque $\ i = \dfrac{1}{\rho g} \dfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x}$ peuvent être réliées à la vitesse débitante $\ U$ (vitesse "moyenne") de l'écoulement $\ U = v_{moy} = \dfrac{v_{max}}{2}$ , elle-même fonction de la viscosité du fluide $\ \eta$ . On peut donc relier ces pertes au nombre de Reynolds.

Pour vous aider à la première question de préparation du TP, nous avons vu dans le cours que $\ v(r)=\dfrac{P_A-P_B}{L}\dfrac{R^2-r^2}{4 \eta}$ $\ v_{max} = v(0) = \dfrac{P_A-P_B}{L}\dfrac{R^2}{4 \eta}$

$\ Q_v = \iint_{\mathcal{S}} \overrightarrow{v}.\overrightarrow{\mathrm{d}S}$ $\ = \iint_{\mathcal{S}} \dfrac{P_A-P_B}{L} \dfrac{R^2-r^2}{4 \eta} \ r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \ \underbrace{\overrightarrow{e_z}.\overrightarrow{e_z}}_{=\ 1}$ $\ = \dfrac{P_A-P_B}{4 \eta L} \int_{0}^{R} \int_{0}^{2\pi} \left( R^2-r^2 \right)r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$ $\ = \dfrac{\pi \left(P_A - P_B \right)}{2 \eta L} \left( \left[ \dfrac{R^2.r^2}{2} \right]_{0}^{R} - \left[ \dfrac{r^4}{4} \right]_{0}^{R} \right)$ $\ =\dfrac{\pi \left(P_A - P_B \right) R^4}{8 \eta L}$

Or $\ Q_v = v_{moy} \times S$ , on en déduit que : $\ v_{moy} = \dfrac{Q_v}{S} = \dfrac{\left(P_A - P_B \right) R^2}{8 \eta L}$ $\ = \dfrac{v_{max}}{2}$

Sur un élément de fluide infinitésimal $\ L \rightarrow \mathrm{d}x$ , et $\ P_A - P_B \rightarrow \mathrm{d}P$ , si bien que :

$\ \dfrac{8 \eta}{R^2} v_{moy} = \dfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x}$ $\ \rightarrow$ $\ \dfrac{8 \eta}{\rho g R^2} v_{moy} = \dfrac{1}{\rho g} \dfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x}$ $\ \rightarrow$ $\ v_{moy} = \dfrac{i \rho g R^2}{8 \eta}$

Travaux pratiques en écoulement des fluides

Fluides parfaits

Fluides réels

Travail à effectuer